Mathematische Gedankenspiele

[Grauer Wolf]

Ich bin in den weiten Untiefen des Internetzes gerade auf ein paar interessante mathematische Spielereien gestoplert, die dem Einen oder der Anderen in den kommenden Tagen und Wochen vielleicht die gedankliche Langeweile vertreiben könnten. Anfangen möchte ich mit ein paar harmlos klingenden Fragen, die sich mathematisch gesehen auch recht einfach beantworten lassen, deren Antworten auf den ersten (und vielleicht auch zweiten Blick) doch erstaunen:

Die Menge der natürlichen Zahlen N besteht aus den Zahlen {1, 2, 3, 4, ...}. Weil man die natürlichen Zahlen zählen kann, enthält diese Menge »abzählbar unendlich viele« Zahlen. Manche Leute zählen die Null auch zu den natürlichen Zahlen. Ich nicht. Die Null läßt sich meiner Meinung nach nicht zählen. Aber wird können natürlich die Vereinigungsmenge N₀ aus der Null und den natürlichen Zahlen bilden: N₀ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Diese Menge enthält dann ein Element mehr als die Menge der natürlichen Zahlen. Trotzdem enthalten beide Mengen, N und N₀, gleich viele Zahlen -- nämlich abzählbar unendlich viele. Der Beweis ist einfach: Ich zähle einfach die Elemente der Menge N₀ durch und enthalte sofort wieder {1, 2, 3, 4,...}, also entspricht jedem Element der Menge N₀ ein Element der natürlichen Zahlen N.

Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine negative Zahl. Ich kann also die Menge N- definieren als N- = {-1, -2, -3, -4, ...}. Bilde ich nun die Vereinigungsmenge aus den negativen Zahlen, der Null und den natürlichen Zahlen, so erhalte ich die Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Frage 1: Enthält die Menge der ganzen Zahlen Z mehr oder gleich viele Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen N?

Die rationalen Zahlen Q ist die Menge aller Zahlen, die ich als Bruch der Form q = z / n darstellen kann, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Rationale Zahlen kann man auch als Dezimalbruch schreiben. Die Anzahl der Stellen nach dem Komma ist dann entweder endlich oder wiederholt sich nach einer Weile, wenn sie unendlich ist. So ist zum Beispiel 1/10 = 0.1 und 1/6 = 0.16666666...

Frage 2: Wie verhält sich die Anzahl der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 zur Anzahl der rationalen Zahlen zwischen 0 und 10? Und wie verhalten sich diese Anzahlen zu den natürlichen Zahlen?

[Elric]

Ich bin nicht mehr ganz auf der Höhe, aber wenn man das Grundkonzept natürlicher Zahlen betrachtet, gehört Null als Aussage "nicht vorhanden" dazu.

[Fanchen]

Wie hast du dir die Beantwortung gedacht? Soll einfach jemand die Lösung schreiben? Dann können andere ja nicht mehr drüber nachdenken. Oder sollen die Fragen einfach offen bleiben?

Ansonsten eigentlich eine interessante Idee.

[Grauer Wolf]

@Elric: Das ist Ansichts- und Definitionssache. Man kann das so sehen wie Du. Man kann es aber auch sehen wie meiner Einer und sich auf den Standpunkt stellen, eine natürliche Zahl ist eine Zahl, die durch den Vorgang des Zählens physischer Objekte entsteht -- zum Beispiel Streichhölzchen. Ich kann ein, zwei, drei, vier Streichhölzchen zählen. Aber wo kein Streichhölzchen ist, kann ich auch kein Streichhölzchen zählen. Es existiert also auch keine natürliche Zahl für kein Streichhölzchen. Aber wie gesagt: Ansichts- und Definitionssache. Beides geht und beides ist richtig.

Wenn ich die Null zu den natürlichen Zahlen hinzunehme, dann muß ich sie spätestens bei der Definition der rationalen Zahlen ausdrücklich wieder ausschließen. Bei der von mir bevorzugten Definition enthalten die natürlichen Zahlen die Null schon gar nicht, d.h. sie muß nicht ausgeschlossen werden.

Hinzugefügt nach 1 Minute 18 Sekunden:
@Fanchen: Wie belieben. Ich denke daß jegliche Antwort sofort genügend Anlaß zu interessanten Diskussionen geben wird.

[Fanchen]

Und bei Bedarf denkst du dir ne weitere Frage aus, damit das nicht abrupt endet hier?

Gut, ich probiers mal mit Beantwortung des ersten Teils der zweiten Frage: Ich behaupte, dass die Anzahl der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 gleich der Anzahl der rationalen Zahlen zwischen 0 und 10 ist, nämlich unendlich.
Die Abzählbarkeit kann ich gerade nichts sagen... obwohl ich, glaube ich, den Beweis dafür bzw. dagegen kennen sollte. Müsste ich etwas überlegen.

Die erste Frage hab ich mal absichtlich nicht genommen, weil ich weiß, dass ich die richtig beantworten kann

[Grauer Wolf]

Keine Angst. Ich habe da noch mehr als genügend solcher Fragen auf Lager.

@Fanchen: Unendlich ist nicht gleich unendlich. Die Frage, wie sich die unendlich vielen Zahlen zu den natürlichen Zahlen verhalten, ist halt eben genau das hüpfende Komma -- äh der springende Punkt.

[Fanchen]

Erstmal: Die Anzahl der rationalen Zahlen in [0, 1] sollte gleich der Menge in [0, 10] sein, weil man in q = z / n durch Multiplikation von z bzw. n mit 10 ja eine Zahl in einem der Intervalle direkt einer Zahl im anderen Intervall zuordnen kann.
Und jetzt versuch ich mal, mich an meine Mathevorlesungen zu erinnern und die Abzählbarkeit hinzukriegen ...
Die Anzahl der rationalen Zahlen müsste abzählbar unendlich sein.
Dafür kann man Zähler und Nenner in einem zweidimensionalen Raster anordnen, ich mach mal ein kleines Beispiel:

Code: Alles auswählen

    1	 2		3		4		5		6	...
1 1/1	1/2		1/3		1/4		1/5		1/6		...
2 2/1	2/2		2/3		2/4		2/5		2/6		...
3 3/1	3/2		3/3		3/4		3/5		3/6		...
4 4/1	4/2		4/3		4/4		4/5		4/6		...
...

(Ich hoffe, dass das so angezeigt wird wie geplant )

Jetzt hat man also eine Möglichkeit, rationale Zahlen zu erzeugen, indem man in den Zeilen den Nenner durchzählt und in den Spalten den Zähler (oder umgekehrt). Links oben hat man bspw. mit z = 1 und n = 1 1/1, weiter rechts dann z = 1 und n = 2, also 1/2, usw.
Das geht natürlich in jeder Zeile und jeder Spalte unendlich lange so weiter. Das sollte ja einfach nachvollziehbar sein, weil man ja nur eine Zahl (je nachdem entweder den Zähler oder den Nenner) weiter hochzählt. Man kann also nicht beispielsweise die erste Zeile durchzählen und dann mit der zweiten weitermachen, weil man schon mit der ersten unendlich lange beschäftigt wäre.
Aber trotzdem kann man die Menge abzählen, indem man links oben anfängt (mit 1/1), dann einen Schritt nach rechts geht (1/2), und dann zählt man, bis die Diagonale durch ist nach links unten. Die nächste Zahl nach 1/2 wäre 2/1. Dann fängt man mit der nächsten Diagonale an: 1/3, 2/2, 3/1, und immer so weiter. Dadurch muss man nicht zwischendurch bis unendlich zählen und lässt trotzdem nichts aus.

Möglicherweise problematisch: Das zählt alle rationalen Zahlen ab, und nicht nur die zwischen 0 und 1. Uuund verdammt, das ist glaub ich falsch.
Das zählt nur die positiven rationalen Zahlen ab. Die 0 kann man einfach dazunehmen, mit den negativen Zahlen kann man genauso verfahren wie mit den positiven - an der Abzählbarkeit ändert das nichts. Damit ist leider auch die erste Frage beantwortet, was ich eigentlich nicht wollte... aber vielleicht möchte den Beweis ja trotzdem noch jemand erbringen, daher lasse ich das.

Zweites Problem: Zahlen wiederholen sich. In dem kleinen Beispiel sind ja schon mehrere doppelt: 1/1 ist das gleiche wie 2/2, und 1/3 ist das gleiche wie 2/6. Wenn man was kriegt, was man schonmal hatte, müsste man das also ignorieren, denke ich.

Achja (von der 0 und den negativen ablenken lassen): Um nur die Zahlen zwischen 0 und 1 zu kriegen, guckt man sich im Beispiel oben eben nur das an, was in der rechten oberen Hälfte ist, also die Zahlen oberhalb der Diagonale, die immer 1 ergibt (1/1, 2/2, 3/3 ...). Dadurch kann man das Abzählen auch einfacher machen, indem man in der ersten Zeile eine Zahl zählt, in der nächsten Zeile zwei Zahlen, dann drei und so weiter.

Hm, mehr fällt mir dazu gerade nicht ein.
Ich behaupte mal, dass damit Frage 2 beantwortet und bewiesen ist.

Edit: Gnah. Das zweite Problem ist evtl gar kein Problem, wenn wir mathematisch korrekt von Mengen reden. Mir ist eh aufgefallen, dass ich die Begriffe hier teilweise durcheinandergeschmissen hab.
Jedenfalls kann ein Element nicht mehrfach in einer Menge vorhanden sein, die 1 wäre also schon durch 1/1 abgedeckt und mit 2/2 nicht nochmal aufgenommen, sondern "automatisch" ignoriert. Mathematisch gesehen. Wenn man sich wirklich hinsetzt und mit der Methode anfängt zu zählen, darf man bei 2/2 dann natürlich trotzdem nicht hochzählen, aber zumindest muss man aus mathematischer Sicht die "doppelten" Zahlen nicht extra rausrechnen.

[Grauer Wolf]

Hat etwas gedauert. Gründe siehe Tagebuch.

Die Anzahl der rationalen Zahlen in [0, 1] sollte gleich der Menge in [0, 10] sein, weil man in q = z / n durch Multiplikation von z bzw. n mit 10 ja eine Zahl in einem der Intervalle direkt einer Zahl im anderen Intervall zuordnen kann.

In der Tat. Und auf diese Art betrachtet, erscheint dieser Sachverhalt einfach und logisch. Und trotzdem: Zwischen 0 und 1 sollen sich genau so viele rationale Zahlen wie zwischen 0 und 10 befinden? Und jetzt kommt's noch härter: Zwischen 0 und 1, oder zwischen 0 und 10 befinden sich jeweils genau so viele rationale Zahlen, wie es insgesamt rationale Zahlen gibt. Also ganz egal, welches Intervall ich betrachte, es umfaßt immer genau gleich viele rationale Zahlen: abzählbar unendlich viele.

Das Problem ist hier die Vorstellung, die wir mit dem Begriff »gleich viele« verbinden. Mathematisch gesehen ergibt dieser Begriff auf unendlich große Mengen angewendet einfach keinen Sinn. In der Mathematik spricht man deshalb von der »Mächtigkeit« einer Menge -- einfach um dem Alltagsbegriff »gleich viele« mit seiner in diesem Falle falschen Anschauung aus dem Weg zu gehen. Mathematisch korrekt formuliert heißt es also: Jedes beliebig große Intervall rationaler Zahlen hat die Mächtigkeit »abzählbar unendlich viele«. Zahlen mit dieser Eigenschaft nennt man »dicht« -- was anschaulich gesehen nichts anderes bedeutet, daß zwischen zwei beliebigen Zahlen dieser Eigenschaft unendlich viele, in diesem Fall abzählbar unendlich viele, Zahlen der gleichen Menge liegen. Anschaulich eben...

Aber sind die rationalen Zahlen überhaupt abzählbar?

In der Tat. Und @Fanchen hat hier die richtige Idee aufgezeigt. Man kann sämtliche rationalen Zahlen in einer wie von ihm gezeigten Tabelle auflisten. Und dann kann ich sie einfach alle zählen, indem ich die Tabelle wie folgt diagonal von rechts unten nach links oben durchgehe:

0, 1/1. 2/1, 1/2, 3/1, 3/2, 2/3, 1/3, 4/1, 4/2, 4/3, 3/4, 2/4, 1/4, ...

Und wenn ich lustig bin, dann wiederhole ich jeden einzelnen Eintrag einfach noch einmal mit dem Minuszeichen, um die negativen rationalen Zahlen auch mitzuzählen. Und wenn ich die Elemente einer unendlich großen Menge abzählen -- oder mathematisch gesprochen: auf die Menge der natürlichen Zahlen abbilden -- kann, dann ist ihre Mächtigkeit abzählbar unendlich.

Langer Rede kurzer Sinn: Es gibt genau gleich viele rationale wie natürliche Zahlen. Äh... die Mächtigkeit der rationalen Zahlen ist gleich der
Mächtigkeit der natürlichen Zahlen -- nämlich abzählbar unendlich.



Demnächst mehr...

[Grauer Wolf]

Auch wenn Mathematik hier wie anderswo nicht so der Brüller zu sein scheint, hier noch einmal eine kleine Denkwürdigkeit zum Thema Primzahlen.

Streiten sich ein Ingenieur, ein Mathematiker und ein Physiker, wie man am besten nachweisen könne, daß alle ungeraden Zahlen Primzahlen sind. Fragt der Ingenieur: »Eins ist eine Primzahl. Drei ist eine Primzahl. Fünf ist eine Primzahl. Sieben ist eine Primzahl. Dann wird's schon stimmen. Was muß man da noch beweisen?« Antwortet der Mathematiker: »Jede mathematische Aussage muß bewiesen werden! Hier machen wir das am besten durch Induktion. Sei p = 1 eine Primzahl. Dann ist also zu beweisen, daß p + 2 ebenfalls eine Primzahl ist. Den Induktionsschritt auszuführen können wir aber den Studenten als Übungsaufgabe überlassen.« Wirft der Physiker ein: »Müßt Ihr das immer so kompliziert machen? Eins ist eine Primzahl. Drei ist eine Primzahl. Fünf ist eine Primzahl. Sieben ist eine Primzahl. Neun ist ein Meßfehler. Elf ist eine Primzahl. Dreizehn ist eine Primzahl. Fünfzehn ist ein Meßfehler. Siebzehn ist eine Primzahl...«

Wir wollen uns hier im Folgenden auf die Primzahlen p größer als Drei beschränken. Durch Ausrechnen ein paar weniger Beispiele sieht man, wenn man schaut, daß

Code: Alles auswählen

p =  5:   5 *  5 - 1 =  24
p =  7:   7 *  7 - 1 =  48 = 24 * 2
p = 11:  11 * 11 - 1 = 120 = 24 * 5

Es scheint also zu gelten, daß das Quadrat einer Primzahl minus Eins immer ein Vielfaches von 24 ist. Streiten sich ein Gothe, ein Metaller und ein Wikinger, wie man das am besten nachweisen könnte...

[Deaddigger]

ok
1 trivialerweise: jede gerade zahl ist durch 2 teilbar, jede zweite gerade zahl durch 4
2. primzahlen sind immer ungerade
3. die rechnung ist die dritte binomische fomel, daraus folgt aus 1 und 2 dass das ergebnis mindestens durch 2 * 4 teilbar sein muss
4. mit q-1 q und q+1 muss mindestens eine zahl durch 3 teilbar sein, ab 5 ist also niemals q also muss die quadratur 2*3*4 teilbar sein.. aka durch 24